Platonische Fraktale       
1. Sierpinskitetraeder und Mengerschwamm, zwei klassische platonische Fraktale
Zu 2. Neue platonische Fraktale      

1. Sierpinskitetraeder und Mengerschwamm zwei klassische platonische Fraktale

   1.1. Zur Mathematikgeschichte
   1.2. Existenz der Grenzfigur
   1.3. Fraktale Dimension
   1.4. Zu Querverbindungen
    Sierpinskitetraeder, Mengerschwamm
 
 

Anmerkungen
Literatur
 
 

1. Die beiden bekannten  platonischen Fraktale
Platonische Fraktale! worum geht es dabei?
Der Begriff ist nicht in der Literatur zu finden. Damit sollen ganz wenige, spezielle fraktale geometrische Figuren aus platonischen Körpern gemeint sein. Wir werden sehen, daß es mindestens fünf gibt, und die werden heute vorgestellt. Aber es gibt mehr und ihre Tendenz ist stark steigend, da viele Entdeckungen noch ausstehen.
Zwei werden die meisten von Ihnen kennen.

Im Bild:

Sierpinskitetraeder Iterationsstufe 0	Sierpinskitetraeder Iterationsstufe 1	Sierpinskitetraeder Iterationsstufe 2	Sierpinskitetraeder Iterationsstufe 3

 
 

Mengerschwamm Iterationsstufe 0	Mengerschwamm Iterationsstufe 1	Mengerschwamm Iterationsstufe 2	Mengerschwamm Iterationsstufe 3

 
 

1. 1. Zur Mathematikgeschichte

Geburtsjahr in der Literatur:
Das ebene Sierpinskidreieck entstand 1915 (Watzlaw Sierpinski, siehe Lit.!) und vermutlich kurz darauf auch das nach Sierpinski benannte Tetraeder, die Übertragung des ebenen Dreiecks in den Raum, von dem mir keine Literatur von Sierpinski bekannt ist. Der Mengerschwamm entstand 1926 (Karl Menger,  siehe Lit.!), als die formale Logik und Mengenlehre die Mathematik stark beeinflußten.

Zum ursprünglichen Anlass ihrer Konstruktion:
Beides sind Linienfiguren, bzw. -netze mit großer topologischer Komplexität. Das Sierpinskidreieck ist ein Beispiel einer Linienfigur, die nur aus Verzweigungspunkten besteht. Der Mengerschwamm ist ein Beispiel einer topologisch universellen Kurve, einer Kurve, die alle anderen Kurven inkl. Verzweigungen bis auf Verbiegungen (bzw. topologische Verformung) homöomorph als Teilfigur enthält.

Topologische Dimension:
Beide Figuren haben die topologische Dimension 1. Sie sind Netze aus Linien. Früher bezeichnete man solche komplexen Liniennetze auch als Kurven und meinte damit Figuren mit der topologischen Dimension 1. Der Begriff der topologischen Dimension wurde mathematisch streng erst  1921 und 1922 von Karl Menger (siehe Lit.!) und dem Russen Urysohn (siehe Lit.!)  fast gleichzeitig neu definiert.

Exoten in der Mathematik
Beides sind also Objekte der mathematischen Grundlagenforschung. Besondere exotische Punktmengen, um als Randfälle die Reichweite und Grenzen von Begriffsdefinitionen in Topologie und Mengenlehre zu klären.

Bekanntheitsgrad:
Ihr Bekanntheitsgrad ist schwer abzuschätzen. Ich habe subjektiv das Gefühl, daß sie ziemlich  wenig beachtete geometrische Figuren waren. Ich selbst bin in meinem Mathematikstudium weder dem Mengerschwamm noch dem Sierpinskitetraeder begegnet.
Anders die Cantormenge, von der der Mengerschwamm eine dreidimensionale Weiterführung ist. Sie kennt jeder Mathematiker. Man lernt sie als Mathematikstudent in den Anfängervorlesungen als den schwer vorstellbaren kuriosen Fall einer diskreten Menge kennen, die nur aus Häufungspunkten. Auch die Kochkorve(= "Schneeflockenkurve") als eine nirgends differenzierbare aber stetige Kurve kennt jeder Mathematiker. Solche Objekte wurden von Weierstraß schon im letzten Jahrhundert diskutiert.

Fraktale Stiefkinder
Als Mandelbrot 1975 (Siehe Anmerkung 2!) den Fraktalbegriff schuf und Mengerschwamm(die Bezeichnung stammt - soviel ich weiß - von B. Mandelbrot) und Sierpinskitetraeder als zwei räumliche Figuren mit in seine Fraktalsammlung aufnahm, wurden sie bekannter. Allerdings waren es fast die einzigen räumlichen Fraktale. Diese wurden in der Literatur im Vergleich zu den ebenen Fraktalen stiefmütterlich behandelt. Vor allem wenn es um klassische Fraktale geht.
Das läßt sich in allen einschlägigen Büchern bis in die heuteige Zeit verfolgen. Das geht parallel mit Verkümmern des räumlichen Denkens im Mathematikunterricht der letzten Jahrzehnte. In allerletzter Zeit scheint eine Trendwende zu entwickeln zu mehr räumlicher Geometrie im Mathematikunterricht. Insofern liegen  Experimente zu räumlichen platonischen Fraktalen gut im Trend.

Die ersten Bilder?
Geht man spaßeshalber der mathematikgeschichtlichen Frage nach, wann und wo die ersten Abbildungen der beiden Figuren veröffentlicht wurden, so staunt man, wie wenig Bilder es überhaupt gab.
Sierpinski hat in seinen Veröffentlichungen im Vergleich zu Menger häufiger Abbildungen zu solchen Figuren gezeichnet. Zu dem nach ihm benannten und sehr bekannten Sierpinskidreieck hat er sehr detaillierte Bilder gezeichnet. (Bilder zum Sierpinskitetraeder fehlen aber?? siehe Anmerkung 1!)

Menger hat in den ersten Veröffentlichungen von seiner "Universellen Kurve" nicht ein einziges Bild gezeichnet. Für einen der Hauptorganisatoren des berühmten Wienerkreises, wo die führenden Logiker und Philosophen der Zeit verkehrten (Popper Russel, Gödel, Wittgenstein, Sierpinski, Brower, ...) galten solche Zeichnungen vielleicht als nicht oportun. Erst ziemlich spät findet man in einer Veröffentlichung von ihm er ein Bild dieser Menge. Die früheste Abbildung, welche ich gefunden habe steht in dem 1969 erschienen Buch Blumenthal/ Menger / ... Studies in Geometry

Der Geburtshelfer
Zu dieser Zeit gab es schon bessere Computer. Es sei festgehalten, daß Mandelbrots Fraktalbegriff ein Computerkind ist. Die grafischen Fähigkeiten der Rechner waren ein unentbehrlicher Geburtshelfer.
 

1. 2. Existenz einer Grenzfigur
Auf den Abbildungen (Siehe oben!) sieht man bekanntlich noch keine der platonischen Fraktale sondern nur die ersten Iterationsstufen. Die eigentlichen Figuren sind die Grenzfiguren, Gedankengebilde, die niemand zeichnen kann, die letztlich sich auch niemand genau vorstellen kann.

Ausprägungen des Unendlichen in der Mathematik. Leger ausgedrückt, muß man "unendliche lange iterieren". Auch Menger und Sierpinski formulierten vor 80 Jahren wenig streng: "Führt man diesen Konstruktionsschritt unendlich oft aus, so erhält man die universelle Kurve.... ".
Macht es Sinn, so etwas zu sagen? Existiert die Grenzfigur? Mit der Mengenlehre und dem Begriff des  Aktual-Unendlichen kein Problem. Als Punktmenge im IR^3 sind diese Mengen eindeutig bestimmt.

In der Schule kann man über die Existenzfrage zu diesen Fraktalen geometrischen Gebilden schöne Diskussionen zum Unendlichen in der Mathematik provozieren. Paradoxien bei Geometrische Figuren motivieren die Schüler dabei stärker als die bei Zahlen!

Der Grenzwertbegriff von Mengenfolgen bzw. eine Metrik in der Potenzmenge eines metrischen Raumes, von Hausdorff  konstruiert, ist für die Schule zu abstrakt.

Beim Mengerschwamm [=: M] kann man die Punkte im dreiadischen Ziffernsystem wie den Cantorstaub [=: C] sehr einfach hinschreiben.

C = { 0, a1 a2 a3 ....(3) | ai <> 1 für jedes i aus {0, 1, 2 } }

In fächerübergreifenden außermathematischen Diskussionen ist die Existenz ein ganz anderes Problem.
Unter den Nichtmathematikern gibt es anerkannte Wissenschaftler, die über die Existenz dieser abstrusen Grenzfiguren allenfalls nur lachen, aber Mandelbrot und seinen Fraktalbegriff als Bereicherung auch ihrer Wissenschaft voll aktzeptieren.
Interessant ist der alternative Standpunkt, daß lediglich die Existenz eines nicht endenden Prozesses (als konstruktivistische mathematische Begriffsbildung nicht uninteressant!) akzeptiert wird, aber nicht die Existenz einer Punktmenge als Endprodukt.
 
 

1. 3. Zur fraktalen Dimension

Fraktale sind nicht zuletzt deswegen besonders beeindruckend für die Schüler, weil die gewohnte Vorstellung der 1-, 2- und 3-Dimensionalität der geometrischen Figuren aufgegeben wird. Genauso wie den Sprung in die Vierte Dimension oder höhere Dimension vergißt ein Schüler  vermutlich nie den Schritt zur gebrochenen  Dimension etwa zu log(4)/log(3) als der Dimension der Schneeflockenkurve zwischen den natürlichen Zahlen 1 und 2.

Es gibt bekanntlich eine Reihe von verschiedenen Definitionen zur fraktalen Dimension, die leider auch nicht mathematisch äquivalent sind. Weiterhin gibt es ein weites Feld von verschiedenen Interpretationen und inhaltlichen Deutungen der fraktalen Dimension von "Maß für geometrische Komplexität", Maß für Dichte der Punkte", "topologisch nicht Linie und nicht Fläche", ...  . Die mathematisch zufriedenstellendste nach Felix Hausdorff benannte strenge Definition (siehe Literatur Hausdorff 1919) ist für die praktische Anwendung am wenigsten handlich und auch für den Mathematikunterricht praktisch ungeeignet. In der Schule begnügt man sich mit wenigen Spezialfällen, der sogenannten Selbstähnlichkeitsdimension sowie Boxcounting- und Zirkelzähldimension.

Ich möchte an dieser Stelle einmal die für den MU gut geeignete und übliche Einführung der Selbstähnlichkeitsdimension kurz zusammenfassen, und dabei eine möglichste nüchterne Interpretation, als "Wachstumsexponent beim Zoomen" bezeichnet, unterstützen. An weiteren zusätzlichen Interpretationen der fraktalen Dimension einer Punktmenge möchte ich mich nicht beteiligen.

Der Gedankengang (Siehe auch Abbildung):
1. Man baut auf der Erfahrung, bzw. auf der im Mathematikunterricht mit Längen-, Flächen- und Raummaßen in Verbindung mit der zentrischen Streckung (Siehe Anmerkung 3!) gelernten Erkenntnis auf :

Wird eine Kartoffelfigur mit der Schnittfläche A um den Faktor k gestreckt,  so wächst A mit k^2 und V mit k^3.

Bei  n-dimensionalen Maßen gibt es die entsprechende Fortsetzung mit der n-ten Potenz des Streckfaktors.
Auch darauf, daß der "triviale" Randfall n = 1, also das Strecken von Linien mit der neuen Länge L' = k^1* L = k^Dim * L, gut in dieses Schema paßt, wird der Schüler aufmerksam gemacht.

2. Man entdeckt, daß dabei (nicht nur zufällig!)  die Dimension 2, 3, 4, 1, n  als Exponent im Wachtumsfaktor des jeweiligen Maßes vorkommt.
 

3. Bei den Fraktalen macht der Schüler nun die überraschende Erfahrung, daß die Schneeflockenkurve oder das Sierpinskidreieck und andere Punktmengen oder "Punktsubstrate" Schäume, Liniengewickel oder wie auch immer bezeichnet weder quadratisch noch kubisch wachsen. Zum Beispiel wächst ein Sierpinskidreeick beim Zoomfaktor 2 um das dreifache.
 

Überraschend ist für den Schüler auch, daß bei diesen Figuren das bekannte Messendurch Einschachteln von innen und außen mit immer kleineren Quadraten (Flächen) oder Würfeln(Volumen) nicht mehr greift, da es nur die Werte Null oder Unendlich liefert.
Suggestiv ausgedrückt kommt man zu Figuren mit keiner Fläche aber unendlicher Länge(Sierpinskidreieck) oder unendlicher Fläche ohne Volumen (Mengerschwamm).

4. Warum soll man sich nicht bei der neuen Wachstumsgleichung auch den Wachstumsexponenten ermitteln. Bei den gewohnten euklidischen Figuren war er die Dimension. Es bietet sich an, auch jetzt bei Fraktalen von einer Dimension zu sprechen.

Der Wachstumsexponent Dim in 3*S = 2^Dim*S ( <==> Dim = log(3)/log(2) ) wird als Dimension bezeichnet, und ist dann eine Zwischendimension  zwischen den Dimensionen 1 und 2.

Es sei darauf hingewiesen, daß man auch bei den Fraktalen passend zu ihrer Dimension ähnlich wie bei Längenmaß von Linien und Flächeninhalt bei Flächen elementar ein Maßsystem aufbauen kann. Elementar in dem Sinn, daß man wie Größenbereichen üblich zählt, wie oft eine Maßfigur in eine zu messende Figur hineinpaßt. Unter Einbeziehung von Grenzwertbildungen läßt sich das Maß auf einen großen Bereich ähnlich gebauter Punktmengen anwenden. (Siehe "Das Schneeflockenmeter... ")

Die (Be-)Deutung der gebrochenen Dimension als  Wachstumsexponenten beim Zoomen trifft eine wesentliche Eigenschaft der Hausdorffdimension.
Diese Idee läßt sich in der Schule gut vermitteln, ohne dass man die schwierige, allgemeine, auf jede Menge anwendbare Hausdorff-Dimension verstehen muß.
 

Das Sierpinskitetraeder, ein Fraktal mit nichtgebrochener fraktaler Dimension
Beim Sierpinskitetraedergestrick ergibt sich die verblüffende Besonderheit einer glatte Zahl als Wachstumsexponent sprich fraktaler Dimension

Man kommt kaum in die Versuchung, dieses seltsame Gebilde als flächig also als "natürlich zweidimensional" aufzufassen.
Trotzdem: Mandelbrot hat in seinem berühmten Buch Die fraktale Geometrie der Natur   S. 154. erläutert, wie eine parallele Projektion dieses total durchsichtigen Gebildes entlang einer Seitenmittenachse dann auf der Projektionsfläche ein Quadrat absolut dicht ausfüllt.
Von einer idealen parallelen Lichtquelle würde also das Sierpinskitetraeder in dieser Richtung nicht einen Lichtstrahl durchlassen. Dreht man es allerdings ein winziges Stück zur Seite und nach oben, dann läßt es praktisch alles Licht durch. Vielleicht wird diese Figur mal als Lichtfilter einen Nutzen haben, wo bestimmte Richtungen ausgeblendet werden müssen.
 

1. 4. Zu  Querverbindungen.

Querverbindung: vom Sierpinski-Dreieck zur Sierpinski-Pyramide:

Als interessantes Beispiel einer innermathematischen Querverbindung der Fraktale sei die Möglichkeit genannt, daß man die vielen Experimente  zum Sierpinskidreieck, wie sie etwa in dem Band Bausteine von Peitgen Saupe Jürgens beschrieben werden von der Ebene in den Raum auf die Sierpinskipyramide übertragen kann.  Hier finden sicherlich Möglichkeiten für mathematische Facharbeiten.
 

Das Ergebnis des zellulären Automaten, die Sierpinski-Pyramide aus den ungeraden Zahlen der Trinomialkoeffizienten hat Evgeny Devidov (auf Anfrage des Verfassers hin) in wenigen Tagen als wunderschenes frei drehbares Modell aus Kugeln in Java programmiert.
Es ist im Internet zu besichtigen:  Evgeny Demidov.
 

Der Mengerschwamm

Die Cantorsche Verwandtschaft
Der Mengerschwamm ist ein direkter Abkömmling der Cantormenge.

!!Hinweis!!
An dieser Stelle wurden die Mengendarstellungen als Vereinung aus karthesischen Produkten gelöscht.
Sie waren leider fehlerhaft.
Wilhelm Sternemann, 30.März 2015


Die Systematik Cantorsche Verwandtschaft sei im Überblick dargestellt.
 

Cantormenge C	C x C	C x C x C	?     C x C x C x C
Einheitsintervall      I	Sierpinskiteppich	> Mengerschwamm	?
	Einheitsquadrat       I x I	"Mengerschaum"	?
		Einheitswürfel       I x I x I	?

Die Inspirationsquelle Mengerschwamm
Der Mengerschwamm scheint die Anwender in der Grundlagensforschung von Industrie und Wissenschaft stark zu inspirieren. Daß er eine unendlich große Fläche und kein Volumen hat, hat einige Forscher in der Physik und Technik in Uni und Wirschaft zu weiteren Überlegungen angeregt.
Das beweisen mehrere interessante Kontakte, die sich nach dem Artikel in Spektrum der Wissenschaft entwickelten, über die sich Lehrer und Schüler gleichermaßen freuen.
 

Zu den neuen platonischen Fraktalen
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Anmerkungen

Es handelt sich hier um Auszüge aus einem Vortrag am 7. 11. 2000
am Heinrich Behnke Seminar, Friedrich Wilhelms Universität Münster
im Kolloquium über Geschichte und Didaktik der Mathematik
(Offizielles Thema:) Platonische Fraktale - zu ihrer Mathematik und wie Schüler der Klasse 10 sie zum Anfassen herstellen
von Wilhelm Sternemann

Anmerkung 1: Das Sierpinski-Tetraeder habe ich in den Publikationen von Sierpinski nicht gefunden. Es ist mir nicht bekannt, ob das Sierpinskitetraeder von Sierpinski stammt, oder ob es einfach nach ihm benannt wurde. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand dazu eine Literaturstelle nennen könnte.
Zumindest das stammt das ebene Sierpinski-Dreieck, von dem das Tetraeder eine räumliche Entsprechung ist, von Sierpinski.  In Mandelbrots "Fraktale Geometrie der Natur" wird das Tetraeder ohne den Namen Sierpinski als ein "fraktales schiefes Gewebe" aufgeführt mit einer von V. Alan Norton berechneten Abbildung. Diese Abbildung ist die früheste, die mir bekannt ist.
Mandelbrot macht dort die fraktale Dimension 2 plausibel, indem er beschreibt, wie man die Figur auf ein ausgefülltes Quadrat projizieren kann.

Anmerkung 2: Mandelbrot selbst bezeichnet in "Die fraktale Geometrie der Natur" (S.14) 1975 als das Entstehungsjahr. "... Obwohl die fraktale Geometrie als solche aus dem Jahre 1975 stammt, ....".  Eine entscheidende Rolle spielt wohl dabei seine Arbeit Les objets fractals: forme, hasard et dimension.

Anmerkung 3: Andere Umschreibungen wie. "Zoomen" oder "Wechsel der Skalierungsmaßstabes" zeigen seine aktuelle Bedeutung.
 

Literatur
Sierpinski, Waclaw. Sur une courbe dont tout point est un point de ramification. Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Acadeémie des Sciences 160, p. 302-305 Paris 1915
Menger, Karl "Über die Dimensionalität von Punktmengen (Erster Teil)" im Jahr 1923 Monatshefte für Mathematik und Physik  (Heft 33), S. 148-160,
und "Über die Dimensionalität von Punktmengen (Zweiter Teil)", im Jahr 1926, Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 34), S: 137-161(?)  
Menger, Karl. "Allgemeine Räume und Cartesische Räume". Zweite Mitteilung: "Über umfassendste n.dimensionale Mengen". Proceedings Academie Amsterdam 29, S. 1124ff,  1923
Blumenthal, Leonhard M./ Menger Karl. Studies in Geometry. W. H. Freeman and Company Sanfrancisco 1970
Mandelbrot, Benoît B. Fraktale Geometrie der Natur 1987 (engl. Orig. 1977)
Mandelbrot, Benoît B.Les objets fractals: forme, hasard et dimension In: Flammarion. Paris 1975
Urysohn, M. P. "Les multiplicites cantoriennes"  Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Acadeémie des Sciences 175 II p. 440-442 Paris 1922
M. Komorek/ R. Duit/ M. Schnegelberger (Hrsg.). Fraktale im Unterricht. IPN-Materialien. Kiel 1998
W. Sternemann. Das "Schneeflockenmeter". Ein Denkanstoß zum Messen von Schneeflockenkurven. In M. Komorek/ R. Duit/ M. Schnegelberger (Hrsg.), Fraktale im Unterricht  IPN-Materialien Kiel 1998
Hausdorff, Felix  Dimension und äußeres Maß Mathematische Annalen 79 S.157-179, 1919

*) Für die Hilfe bei der Zusammenstellung danke ich  Herrn Prof. Dr. Hans Joachim Samaga      Universität Hamburg - FB Mathematik